בחינת מימד - שיעור שברים

הגדרה

שבר מוגדר כחלוקה של שני מספרים. חלקו העליון של השבר נקרא "מונה" וחלקו התחתון של השבר נקרא "מכנה".

לדוגמה: השבר 2/3 הוא חלוקה של המספר 2 במספר 3, המונה של השבר הוא 2 והמכנה הוא 3.

משמעות השבר היא חלוקת שלם כלשהו למספר החלקים הנמצא במכנה, ובחירת חלקים מתוכם לפי המספר שנמצא במונה.

לדוגמה: בשבר 2/3, ניקח שלם כלשהו, נחלקו ל- 3 חלקים, ומתוכו נבחר 2 חלקים.

סוגי שברים

שבר פשוט - כאשר המונה קטן מהמכנה, כמו בשבר 2/3, השבר קטן מ-1. הסיבה לכך היא שאנחנו בוחרים מספר חלקים הקטן ממספר החלקים הכולל שמרכיב את השלם. כלומר, ערכו של השבר קטן מהשלם.

שבר מדומה - כאשר המונה גדול מהמכנה, כמו בשבר 3/2, השבר גדול מ-1. שבר כזה נקרא "שבר מדומה". הסיבה לכך היא שאנחנו בוחרים מספר חלקים הגדול ממספר החלקים הכולל שמרכיב את השלם. כלומר, ערכו של השבר גדול מהשלם עצמו. חלק מהשברים המדומים יכולים לבטא שלם גדול מ-1. לדוגמה: השבר 6/3 שווה 2.

שבר מעורב - שבר המורכב ממספר שלם בתוספת שבר הקטן מ-1. דוגמה לשבר כזה היא: 4 ו-2/3. צורת כתיבה זו זהה לביטוי: 2/3 + 4

מספר שלם - נציין שכל מספר שלם יכול להיות מוצג כשבר על ידי חלוקתו ב-1. לדוגמה: המספר 2 יכול להיות מוצג כשבר כך: 2/1. הסיבה היא שתוצאת החלוקה של כל מספר ב-1 היא המספר עצמו. הדבר ישמש אותנו בהמשך בנושא חלוקת שברים.

שברים חיובים ושליליים

שבר מורכב מחלוקה של מספר במספר אחר, ועל כן חלים עליו חוקי החילוק. מכאן:

אם נחלק מספר שלילי במספר חיובי נקבל תוצאה שלילית. לדוגמה: 3/2- הוא שבר שלילי.
אם נחלק מספר חיובי במספר שלילי נקבל תוצאה שלילית. לדוגמה: 3-/2 הוא שבר שלילי.
אם נחלק מספר חיובי במספר חיובי נקבל תוצאה חיובית. לדוגמה: 2/3 הוא שבר חיובי.
אם נחלק מספר שלילי במספר שלילי נקבל תוצאה חיובית. לדוגמה: 2-/3- הוא שבר חיובי.

צמצום והרחבת שברים

"צמצום שבר" היא פעולה בה מחלקים את מונה השבר וגם את מכנה השבר במספר זהה. ניתן לעשות זאת בתנאי שגם המכנה וגם המונה מתחלקים ללא שארית באותו מספר.

לדוגמה: את השבר 4/6 ניתן לצמצם על ידי חלוקה ב-2 של המכנה וגם של המונה. מכיוון ש-2=4/2 ו-3=6/2 נקבל את השבר: 2/3. כלומר ערכו של השבר 4/6 שווה לערכו של השבר 2/3.

"הרחבת שבר" היא פעולה שבה כופלים את מונה השבר וגם את מכנה השבר במספר זהה.

לדוגמה: את השבר 3/5 ניתן להרחיב על ידי הכפלה פי 3 של המכנה וגם של המונה. 9=3X3 ו-15=3X5, וכך נקבל: 9/15. כלומר ערכו של השבר 3/5 שווה לערכו של השבר 9/15.

בשבר שבו המכנה והמונה שווים זה לזה ניתן לצמצם במספר המופיע במכנה ובמונה ולקבל 1.

מכאן, כל שבר שבו המונה והמכנה שווים זה לזה שווה בערכו ל-1.

לדוגמה: 1=1/1=1003/1003=17/17=5/5

כללים לצמצום והרחבת שברים:

1. הרחבה או צמצום שברים מוגדרת אך ורק ככפל או חילוק המכנה והמונה באותו ערך מספרי.

2. שבר שווה בערכו לכל השברים שנוצרו מצמצומו או הרחבתו.

3. ערכו של כל שבר שבו המונה שווה למכנה הוא 1.

4. לא ניתן לצמצם או להרחיב שבר על ידי חלוקה או כפל ב-0.

5. מכנה של שבר לא יהיה שווה ל-0 כיוון שלא ניתן לחלק מספר ב-0. תוצאת שבר כזה אינה מוגדרת.

שברים מדומים

שברים מדומים הם למעשה חלוקה של מספר במספר הקטן ממנו. מכאן, לעיתים התוצאה יכולה להיות מספר שלם כמו לדוגמה: 15=10/2, נחלק 10 ב- 2 ונקבל 5, אך התוצאה יכולה להיות גם מספר שלם עם שארית.

לדוגמה: 17/3 - במקרה זה, נמצא מהו המספר הכי קרוב ל- 17 (וקטן וממנו) שמתחלק ב- 3 ללא שארית, שהוא 15.

15 חלקי 3 שווה ל- 5. נוכל לפרק את השבר ולכתוב אותו כך: 5 ו- 2/3 = 5+2/3 = 2/3+15/3 = 17/3.

חיבור וחיסור שברים

חיבור וחיסור שברים

חיבור וחיסור שברים ניתן לבצע רק כאשר המכנים של השברים שאנו מחברים או מחסרים שווים זה לזה.

במידה והם אינם שווים, עלינו לבצע צמצום או הרחבה על מנת להביא את כל השברים להיות בעלי מכנה זהה.
כאשר המכנה זהה, פעולת החיבור או החיסור מתבצעת על המונים של השברים והמכנה נשאר זהה גם בתוצאה.

דוגמה לחיבור שברים בעלי מכנים זהים: 4/4=4/(3+1)=3/4+1/4.

דוגמה לחיסור שברים בעלי מכנים זהים: 2/4=4/(3-1)=3/4-1/4.

דוגמה לחיבור שברים בעלי מכנים שונים: 2/9+4/9.

לא נוכל לחבר את השברים בצורתם הנוכחית. עלינו להרחיב את השבר 2/3 על מנת שהמכנה שלו יהיה שווה ל- 9. מכיוון שכעת מופיע במכנה המספר 3, נרחיב פי 3 את המכנה והמונה ונקבל: 6/9=2X3/3X3. כעת נקבל תרגיל שבו המכנה זהה בשני השברים: 10/9=9/(6+4)=6/9+4/9.

מכנה משותף

ראינו כעת שבכדי לחבר ולחסר שברים עלינו לדאוג שלשני השברים שברצוננו לחבר או לחסר יהיה אותו מכנה.

ברגע שהמכנה של שני השברים זהה נוכל לשים את המונים על אותו קו שבר כפי שראינו בדוגמה המספרית לחיבור שברים בעלי מכנים שווים. על מנת להגיע למכנה משותף עלינו להרחיב או לצמצם לפחות את אחד מהשברים.

לדוגמה: 1=4/4=4/(2+2)=2/4+2/4=1/2+2/4. בדוגמה זאת הרחבנו את 1/2 פי 2 בכדי שמכנה השבר יהיה 4 – כמו בשבר השני.

בחלק מן המקרים נצטרך לצמצם או להרחיב את שני השברים. לדוגמה: ?=1/3+1/4.

לא נוכל להרחיב את 1/3 על מנת שהמכנה שלו יהיה 4 וגם לא נוכל לצמצם את 1/4 על מנת שבמכנה שלו יהיה 3.

נצטרך לעשות מכנה משותף על ידי הרחבת שני השברים, כאשר המכנה המשותף יהיה מספר שיתחלק בכל אחד מהמכנים המקוריים ללא שארית. בדוגמה זו, המכנה המשותף נוצר על ידי הכפלת המכנה של שבר אחד במכנה של השבר השני - 12=3X4.

את 1/3 נרחיב פי 4 ואת 1/4 נרחיב פי 3. כך נקבל: 7/12=12/(4+3)=4/12+3/12=1/3+1/4.
לעיתים נוכל למצוא מכנה משותף קטן יותר מאשר המכפלה של מכנה אחד במכנה השני.

לדוגמה: ?=1/6+1/9

נוכל ליצור מכנה משותף מכפל של 6 ב- 9 וכך נקבל מכנה 54, אבל, נוכל גם ליצור מכנה משותף קטן יותר.

לדוגמה: אם נרחיב את 1/6 פי 3 ואת 1/9 פי 2 נקבל: 5/18=18/(3+2)=3/18+2/18=1/6+19 .

כדאי לבדוק האם יש מספר הקטן ממכפלת שני המכנים זה בזה – בדרך זו נוכל להרחיב את השברים במספרים קטנים יותר ולא להסתבך עם חישובים מורכבים. במידה ולא קופץ לנו לראש מספר שכזה – חבל לבזבז זמן על בדיקות מיותרות ונכפול את המכנים זה בזה על מנת ליצור מכנה משותף.

כפל, חילוק והשוואת שברים

כפל שברים

כפל של שברים ניתן לבצע על כל שני שברים ואין צורך במכנה משותף ביניהם.
בכפל בין שני שברים כופלים בנפרד את המונים ובנפרד את המכנים.

לדוגמה: 4/15 = 2X2/3X5 = 2/3X2/5.

במצב זה, ניתן לצמצם איברים במונה עם איברים מהמכנה. לדוגמה: במכפלה 4/5X3/5 , נוכל לצמצם את 3 במכנה עם 3 במונה
וכך לקבל: 4/5 = 4/3X3/5 = 4/1X1/5

כמו כן, ניתן לצמצם גם מספרים שאינם זהים, כל עוד ניתן לחלקם באותו מספר. למשל, במכפלה 4/3X6/5 ניתן לצמצם את 6 ו- 3 ב- 3 ולקבל: 8/5 = 4/3X6/5 = 4/1X2/5 .

כאשר כופלים שבר במספר שלם, מכיוון שמספר שלם שווה לאותו מספר חלקי 1, נכפול את המספר השלם במונה של השבר, ונשאיר את המכנה כמו שהוא. לדוגמה, במכפלה 4/3X5 את המספר 5 ניתן לכתוב גם כך: 5/1 ואז המכפלה שווה ל- 20/3 = 4/3X5/1.

חילוק שברים

כאשר נרצה לחלק שבר בשבר אחר, נכפול במספר ההופכי - נהפוך בין המונה והמכנה של השבר שבמכנה ונכפול אותו עם השבר במונה. (מספר הופכי הוא מספר שמכפלתו במספר המקורי תהיה שווה ל- 1. לדוגמא המספר ההופכי של 3 הוא 1/3).

לדוגמה: ?=(1/3)/(1/2)

נהפוך את תרגיל החלוקה למכפלה ע"י כפל במספר ההופכי של השבר המופיע במכנה: 1/2X4/3

מכיוון שמכפלת שברים אנו כבר יודעים לפתור, 2/3=4/6=1/2X4/3.

כלל: במידה ואנו מחלקים שלם בשבר (לדוגמה: 7/9 /3) או שבר בשלם (לדוגמה: 3 /7/9) נתייחס לשלם כמו שבר המחולק ב- 1.

כלומר 3/1=3, ובמקרה זה, (7/9)/(3/1) = 7/9 /3, ו- (3/1)/(7/9) = 3 /7/9.

השוואת שברים

לעיתים נדרש במבחן להשוות בין שברים ולהחליט מי מהם גדול או קטן יותר. על מנת להשוות בין שברים, קיימים מספר כללים שכדאי לזכור.

כאשר אנו נדרשים להשוות בין שברים, עלינו להרחיב או לצמצם לפחות את אחד השברים על מנת שיהיה שוויון בין המונים או בין המכנים של שני השברים, וכך נוכל להשתמש בכללים הבאים:

כלל: כאשר המכנה זהה והמונה שונה, השבר שבו המונה גדול יותר הוא השבר הגדול יותר.

לדוגמה: 3/4>1/4 או 300/10000>99/10000

כלל: כאשר המונה זהה והמכנה שונה, השבר שבו המכנה קטן יותר הוא השבר הגדול יותר.

לדוגמה: 1/4>1/6 או 2/299>2/300

כלל: כאשר נתונים שני שברים אשר המונה בשניהם קטן בדיוק ב- 1 מהמכנה, השבר בעל המונה והמכנה הקטנים יותר הוא בעל הערך הקטן יותר.

לדוגמה: 4/3>2/3 או 99/100>98/99

כלל: כאשר אנו מחלקים שבר עשרוני ב- 10, "נזיז" את הנקודה מקום אחד שמאלה.

לדוגמה: 0.523=5.23/10

שבר עשרוני

שבר עשרוני

צורת הכתיבה של שבר עשרוני נעשית כאשר משמאל לנקודה העשרונית נרשם חלקו השלם של המספר ומצידה הימני נרשם חלקו ה"לא- שלם" של המספר. לדוגמה: 1.2 או 6.8.
כאשר מופיעה ספרה בודדת מימין לנקודה, החלק ה"לא- שלם" של השבר העשרוני המופיע מימין לנקודה מסמן עשיריות. כלומר, על מנת להפוך את החלק הלא שלם של המספר לשבר פשוט עלינו לחלקו ב- 10. זאת הסיבה לשמו של השבר העשרוני.

כאשר מופיע מספר דו-ספרתי מימין לנקודה, מספר זה מסמן מאיות, כאשר מופיע מספר תלת-ספרתי מימין לנקודה הוא מסמן אלפיות, וכן הלאה.
לדוגמה: המשמעות של 1.3 קילוגרם היא שיש קילוגרם אחד שלם ועוד 3/10 קילוגרמים.

שברים עשרוניים שמומלץ לזכור בעל פה

0.1 = 1/10
0.125 = 1/8
0.25 = 1/4
0.5 = 1/2
...0.333 = 1/3
0.2 = 1/5
...0.111 = 1/9

כלל: כאשר אנו כופלים שבר עשרוני ב- 10, "נזיז" את הנקודה מקום אחד ימינה.
לדוגמה: 4.5=0.45X10

כלל: כאשר אנו מחלקים שבר עשרוני ב- 10, "נזיז" את הנקודה מקום אחד שמאלה.

לדוגמה: 0.523=5.23/10